وبلاگ blog" name="description" />, Weblog, Daily, Writing, PersianBlog, persianweblog , Blog , Persian , Iran , Iranian, Farsi, Weblogs, Blogs, وبلاگ, يادداشت روزانه, پرشين بلاگ , وبلاگ فارسی , وبلاگ ایرانی , وب نوشت " name="keywords" /> <-BlogTitle->
 

<-blogTitle->

<-BlogDescription->

<-PostTitle->
ساعت <-PostTime-> روز <-PostDate->  کلمات کلیدی: <-TagName->
<-PostContent->
لینک دائم لینک دائم   لینک دائم نظر شما (<-count->)   لینک دائم نویسنده: <-PostAuthor->  
← صفحه بعد صفحه قبل →
 
<-PageContent->

 
 
 
 
donestani.persianblog.irبه این وبلاگ علمی سر بزنید دریافت کد خداحافظی

جلسه اول 9/12/83

مقاومت مصالح 1

- سازه همیشه سه بعد دارد ، پس دایره یک سازه نیست ولی استوانه و کره یک سازه می باشند.

فصل اول : 1-1) سازه های مرکب :

مقدمه : در مطالب قبلی به نام استاتیک ، سکون اجسام با صرف نظر کردن از تغییر شکل آنها بررسی گردید. یعنی اجسامی مطرح شدند که تغییر شکل آنها بسیار کوچک و قابل اغماض است. در نتیجه حتما تمام آن اجسام جامد بودند. در مقاومت مصالح که دنباله همان استاتیک است ، سکون همان اجسام جامد مطرح می شودکه البته با در نظر گرفتن همان تغییر شکل های بسیار کوچک. هر جسمی حتی جسم جامد در مقابل هر نوع نیرو تغییر شکل می دهد. زیرا نیروهای خارجی وارد بر آن جسم بین مولکولهای آن جسم تقسیم شده ، و نیروهای بین ملکولی را تغییر می دهد. که این تغییر باعث می شود که ملکولها نسبت به همدیگر خیلی کم جا به جا شوند و شکل ظاهری آن جسم کمی تغییر کتدکه آن را تغییر شکل آن جسم گویند.نه تنها در آزمایشات ، در تئوری نیز می توان این تغییر شکل را به دست آورد. عکس مقدار تغییر شکل را مقاومت آن جسم گویند. برای هر نقطه و برای هر سازه شکل آن قطعه یا ابنیه و شکل قطعات آن بایستی طوری تعیین گردد که آن ابنیه بتواند وظیفه خود را به درستی انجام دهد. یعنی تغییر شکل آن از یک مقدار ماکزیمم تجاوز نکند. آن مقدار max را تغییر شکل مجاز آن قطعه گویند. این تغییر شکل مجاز بستگی به نوع ابنیه دارد. در نتیجه از ساختمانی به ساختمانی دیگر متفاوت است. که این ها را آئین نامه ها تعیین می کنند. عکس مقدار تغییر شکل را مقاومت جسم و عکس تغییر شکل مجاز را مقاومت مجاز گویند. در نتیجه مهمترین مطلبی که مقاومت مصالح مطرح می کند این است که برای هر قطعه چه نوع شکل هندسی و چند نوع ماده بایستی انتخاب گردند تا آن قطعه بتواند وظیفه خود را به درستی انجام داده و max تغییر شکل از تغییر شکل مجاز تجاوز نکند.

2-1) سازه : سازه هر چیز مصنوعی است که توسط انسان طراحی ، محاسبه و ساخته می شود تا در مفابل نیروهایی که بعدا اعمال خواهند شد وظیفه خود را به درستی انجام دهند. یعنی در مقابل آن نیروها مقاومت کند و بعبارت دیگر max تغییر شکل آن آز تغییر شکل مجاز پائین تر باشد یا مقاومت آن از مقاومت مجاز بالاتر باشد. محاسبه یعنی پیدا کردن max تغییر شکل نیروهای خرجی که بر سازه اعمال          می گردند که متنوع هستند. یکدسته نیروهای خارجی که سازه به خاطر آن طرح و محاسبه می گردد و آنها نیروهای معلوم می باشند که از مجموع دو نیرو تشکیل       می شوند : 1) بار زنده 2) بار مرده. نیروهای مرده را با D نشان می دهند و به طور تقریبی محاسبه می کنند که عبارت است از وزن سازه که ممکن است بنا به دلایلی در آینده وزن سازه اضافه گردد و به همین خاطر 40% ، نیروهای مرده را بیشتر در  نظر می گیرند ( یعنی :  × 1.4بار مرده ). دومی نیروهای زنده هستند که در بعضی از طول روز یا هفته یا ماه یا سال اضافه یا کم می گردند مانند وزن برف یا نیروهای حاصل از وزش باد یا لوازم ساختمان و یا افراد آن. نیروهای پیش بینی نشده بار زنده از بار مرده بیشتر است. لذا وزن زنده را با L نشان داده و مقدار آن را 70% اضافه در نظر        مـی گیـرند. یـعنی آنـرا 1.7L در نظر مـی گـیرند. در نتـیجه نـیروهای وارد بر سـازه  1.4D + 1.7L است. دسته دیگر نیروهای خارجی عکس العمل تکیه گاه ها        می باشد، که نیروهای مجهولی می باشندو لذا برای این که تغییر شکل سازه در مقابل نیروهای خارجی محاسبه گردند در وهله اول لازم است که عکس العمل تکیه گاه ها محاسبه شوند و به این دلیل به آنها مجهولات اصلی گویند.

3-1) انواع سازه :

سازه ها را به دو نوع دو بعدی و سه بعدی تقسیم می کنند. سازه دو بعدی را سازه مسطحه نیز می نامند. سازه دو بعدی ، سازه ای است که نیروهای وارد برآن روی یک صفحه واقع هستند. هر سازه ای دارای سه بعد است. چون در سازه های دو بعدی تمام نیروها در صفحه دو بعدی قرار می گیرند. اگر تمامی نیروها در یک صفحه واقع نباشندآن را سازه سه بعدی یا فضایی نامند. هر سازه سه بعذی از مجموع چند سازه دو بعدی تشکیل می شود که بنا بر اصل سن ونان که آنرا اصل جمع آثار نیروها نیز       می نامند و بر طبق این اصل می توان تک تک سازه ها ی دو بعدی را بررسی کرده ، آثار آنها را پیدا کرد. از مجموع آن آثار سازه سه بعدی را نتیجه گرفت. بنا به این اصل اگر بر سازه ای چند سیستم نیرو اعمال شده باشد ، اثر مجموعه همه آنها برابر است با مجموع آثار تک تک آنها.

4-1) تعادل سازه :

سازه ای را در حال تعادل گویند که یا در حال سکون باشد و یا حرکت مستقیم الخط یکنواخت داشته باشد.یعنی در هر حالت شتابش برابر صفر باشد. اگر در حال سکون باشد ، آنرا تعادل استاتیکی و اگر در حال حرکت مستقیم الخط یکنواخت باشد ، تعادل دینامیکی گویند.

5-1) معادلات تعادل :

 
 

چون نیرو برابر است با جرم جسم ضربدر شتاب آن جسم. وقتی جسم در حال تعادل خواهد بود یعنی وقتی0=a خواهد بود که نیروی وارد بر جسم صفر باشدیعنی مجموع نیروهای وارد بر آن جسم صفر گردد.در حالت کلی نیرو کمیت برداری است ، پس شرط جسم به صورت   نوشته می شود. این شرط لازم است ولی کافی نیست. زیرا ممکن است جسم در حال سکون باشد و یا حرکت مستقیم الخط داشته باشدولی حول یک نقطه دوران کند ، برای اینکه دوران نکند لازم است مجموع گشتاورهای وارد بر آن جسم نیز صفر گردد. یعنی . پس شرط لازم و کافی برای تعادل هر جسم به صورت                  است.

هر یک از این دو عبارت شرط لازم و دیگری کافی است و آنها را با هم معادلات تعادل نامند. از آنجا که به صورت برداری نوشته شده اند، معادلات تعادل برداری      می نامیم و در حل مسائل به روش ترسیمی به کار می روند. چون به طور کلی بردار برای روش ترسیمی تعریف گردیده است.

برای تبدیل روش ترسیمی به تحلیلی ، لازم است محورهای مختصات دلخواهی را به شکل (جسم) وابسته کرد. روش تحلیلی یعنی از اعداد و حروفات و عملیات ریاضی ، ساده ترین دستگاه مختصات که در ریاضی نیز معرفی شده است.دستگاه مختصات دکارتیاست که از مجموعه سه محور x,y,z تشکیل یافته است و اولین بار در ریاضیات به کار رفته است. لذا آن سه محور را به جسم وابسته کرده ، هر یک از دو معادله تعادل برداری بالا را روی آنها تصویر می کنیم که شش معادله جبری زیر دست می آید.

 
 

 

 

 

این شش عبارت را معادلات تعادل گویند و چون به صورت جبری نوشته شده اند، آنها را معادلات جبری گویندو در روش تحلیلی به کار می روند. سپس برای یک جسم یعنی برای یک سازه منفرد حداکثر دو معادله تعادل برداری یا شش معادله تعادل  جبری می توان نوشت.

 
 

20N

F2

F1

50N

- مسئله : در سازه دو بعدی داده شده ، نیروی مجهول را طوری بیابید که سیستم در حال تعادل باشد.                                       40cm       30cm                   

پس جهت درست است

 

F2+F3=50

چون علامت F3 منفی شد پس جهت باید عکس شود.

 

(70-b)30=0

 

30N

F3

30

cm

z

y

b

 

  a

 

 

 

 

 

 

200KgF

 F2

   F1

 60KgF

200KgF

 F3

50KgF

80KgF

- مسئله : در سیستم روبرو ، نیروهای مجهول را طوری تعیین کنید تا سیستم در حال تعادل باشد.

جواب : چون نقطه ای مانند a در تقاطع  F1وF2

پیدا می شود که در آن محل گشتاور نیروهای

مجهول صفر می شود.پس سازه هیچ گاه ایستا نخواهد بود.

6-1) حالت کلی سازه های 2 بعدی :

شکل 1-1

 

در بند 3-1 ، سازه های دو بعدی و سه بعدی تعریف گردیدند. سازه دو بعدی سازه ای است که تمام نیروهای وارد بر آن روی یک صفحه قرار داشته باشد که آنرا سازه مسطحه نیز نامند.در شکل 1-1 یک سازه دو بعدی نشان داده شده است. فقط برای اینکه قابل تجسم باشد ، برای آن شکل هندسی انتخاب کرده ایم. پس صفحه ای نشان داده شده که تمام نیروها در آن صفحه اند که آن صفحه را صفحه نیروها گویند. این صفحه ، سازه را در یک شکل شش ضلعی قطع کرده است. نیروها بر محیط آن مقطع اعامل خواهند شد که برای نمونه هفت نیرو اعمال گردیده اند. اگر در چنین اشکالی امتداد نیرو معلوم باشد مانند F1~F6  در رسم شکل علامت بردار را روی آن قرار نمی دهیم ولی اگر امتداد نیرویی معلوم نباشد مانند F7 ، علامت بردار روی آن قرار می گیرد. رسم یک سازه مطابق شکل 1-1     

وقت گیر است و از آنجا بیان ضخامت سازه این

 

سازه در بالا و پایین صفحه نیروها تاثیری در بررسی نیروها ندارد ، برای سادگی ، ضخامت سازه را رسم نکرده و مطابق شکل 2-1 سازه را به صورت صفحه برخورد سازه سه بعدی با صفحه نیروها نشان می دهیم.

شکل 2-1     

 

 

 7-1) گشتاور نیرو :

در شکل 3-1 یکی از آن نیروها در صفحه نیروها نشان داده شده است. این نیرو در حالت کلی انتخاب شده است و امتداد آن مشخص نیست. به این خاطر علامت بردار بر روی اسم آن بکار رفته است. نیروی Fi مانند هر برداری امتداد یعنی راستا دارد. خط مستقیمی که از مبدا و انتهای این بردار می گذرد. روی آن نقطه دلخواهی مانند Ai انتخاب شده و نقطه ثابت I به آن نقطه وصل شده و بردار فرض شده است.بنا به تعریف حاصلضرب خارجی بردار IAi در بردار نیروی Fi را گشتاور آن نیرو در نقطه I گویند. و آن برداری است مانند  IAi Ù Fi که بنا به ضرب خارجی دو بردار ، این گشتاور بر آن دو بردار عمود و در نتیجه بر صفحه رسم شده عمود می باشد و محا آن خطی است که از نقطه I گذشته و بر آن صفحه عمود است. و اندازه آن برابر است با حاصلضرب اندازه آن دو بردار در سینوس زاویه کوچکتر از 180 درجه بین آن دو بردار یعنی داریم :

| Mi | = | IAi | . | Fi | . Sin q ، زیرا اندازه بردار همواره کمیت جبری مثبت است. برای نشان دادن زاویه q آن دو بردار بایستی هم مبدا رسم شوند. لذا مطابق شکل بردار F0 را همسنگ بردار نیرو از نقطه I رسم می کنیم. زاویه کوچکتر از 180 درجه به دست می آید. اندازه گشتاور نیرو را لنگر آن نیرو نیز نامند. برای تعیین جهت گشتاور ، زاویه q را مطابق شکل از طرف بردار اول به طرف بردار دوم ، جهت دار می کنیم. در این صورت جهت گشتاور ، جهتی خواهد بود که اگر از آن جهت به آن صفحه نگاه کنیم ، زاویه q در جهت مثبت مثلثاتی دیده شود. در نتیجه جهت گشتاور به طرف بالاست که با دو فلش نشان داده شده است.        

شکل 3-1        

 

(( در فرمول گشتاور ، همواره نیرو بعد از فاصله

نوشته می شود و غیر از آن نادرست است. ))

IH = | IAi | . Cos ( q - p / 2 )

 

IH = | IAi | . Sin q

در شکل 3-1 روی همان صفحه از مرکز گشتاور IH را در امتداد نیرو عمود    می کنیم ، یک مثلث قائم الزاویه بدست می آید که از آن مثلث خواهیم داشت :

| Mi | = | Fi | × IH

Þ

 

 

یعنی اندازه گشتاور برابر است با اندازه نیرو ضرب در فاصله مرکز گشتاور از محل نیرو .

از اینجا نتیجه می شود در یک حالت خاص اگر مرکز گشتاور روی محل نیرو قرار بگیرد ، گشتاور نیرو صفر خواهد شد. زیرا فاصله مرکز برابر صفر خواهد شد.

برای ساده شدن شکل 3-1 ، صفحه نیروها را در صفحه شکل انتخاب می کنیم. در این صورت بردار نیرو و مرکز گشتاور در صفحه شکل قرار خواهند گرفت. چون بردار گشتاور بر آن صفحه عمود است یعنی در نقطه I بر صفحه شکل عمود است که بصورت یک نقطه دیده خواهد شد. برای اینکه نشان دهیم در آن نقطه بردار عمود بر صفحه شکل وجود دارد ، مطابق شکل 4-1 آنرا با قوس جهت دار نشان می دهیم. جهت آن قوس را جهت نیرو تعیین می کند. اگر مطابق همین شکل جهت نیرو نسبت به نقطه I

 

در جهت مثلثاتی باشد ، قوس را در جهت مثلثاتی و اگر نیرو نسبت به نقطه I در جهت ساعتگرد باشد ، قوس را نیز در جهت ساعتگرد اختیار می کنیم.      

شکل 4-1        

8-1) مختصات برداری سیستم نیرو :

یک سازه دو بعدی را در حالت کلی در نظر می گیریم که تمام نیروهای وارد بر آن روی یک صفحه قرار می گیرند. مطابق مطالب قبل ، صفحه نیروها را صفحه شکل انتخاب می کنیم ، تمامی نیروها در صفحه شکل قرار می گیرند. در شکل 5-1 فصل مشترک آن سازه با صفحه نیروها ، یک منحنی بسته فرض شده است. یعنی شکل هندسی مشخص برای سازه انتخاب نشده است تا حالت کلی پیدا کند. از اسم گذاری نیروها مشخض می شود که تعداد آن نیروها n فرض شده است. نقطه ثابتی مانند  I را در صفحه نیروها انتخاب می کنیم ( روی صفحه شکل قرار می گیرد ). ممکن است داخل آن سازه یا روی سطح آن سازه یا در خارج آن انتخاب شود. در شکل 6-1 در خارج آن سازه انتخاب شده است. از نقطه I بردارهایی همسنگ با بردارهای نیرو رسم می کنیم. همه آنها در صفحه نیروها یعنی صفحه شکل قرار می گیرند. آنها را با هم جمع می کنیم که برداری مانند Fi به دست می آید که مبدأ آن نقطه I بوده و در صفحه شکل قرار داردکه آنرا مجموع برداری نیروها گویند. گشتاورهای تک تک نیروها را نیز در نقطه I پیدا می کنیم. بنا به مطالب قبلی ، تک تک آن گشتاورها ، بردارهایی      

به مبدأ I خواهند شدکه بر صفحه شکل عمودند. مجموع آنها برداری مانند MI خواهد گردیدکه بر صفحه شکل عمود بوده ، لذا با قوس جهت دار نشان داده شده است و آنرا مجموع بردارهای گشتاور گویند. این دو بردار به دست آمده را مختصات برداری آن سیستم نیرو در نقطه I نامیده ، با زوج مرتب  I(F , M  ) نشان می دهند.

شکل 6-1

شکل 5-1       

 

   برآیند به شرطی موجود است که بردارها در یک صفحه واقع شوند ولی همواره مجموع بردارها داریم.

 

شکل 7-1

 

 

 

 

9-1) قضیه اول :

مطابق مطالب قبلی ، نقطه ثابت دیگری مانند J را در همان صفحه نیروها یعنی در صفحه شکل انتخاب کرده ، مختصات برداری همان سیستم نیرو را در این نقطه دوم نیز پیدا می کنیم. نظیر ممان مطلب در شکل 7-1 از نقطه J بردارهایی همسنگ با بردارهای نیرو رسم کرده ، آنها را با هم جمع می کنیم تا مختص اول به دست آید. لذا هم از نقطه I و هم از نقطه J بردارهایی همسنگ با بردار های نیرو رسم شده است. پس آنها دو به دو با هم همسنگ می باشند. مجموع آنها نیز با هم همسنگ خواهد شد. یعنی دو بردار FI و FJ همسنگ یکدیگرند. از اینجا نتیجه می شودکه مجموع برداری نیروها در نقاط مختلف فضا همسنگ خود باقی می مانند. همچنین برداری را اصطلاحاً آزاد گویند. از اینجا نتیجه می شوداگر مجموع برداری نیروها در یک نقطه دلخواه از فضا صفر باشد ، در تمام نقاط فضا صفر خواهد شد. ولی در حالت کلی ، مختص دوم یعنی مجموع گشتاورهای نیروها از نقطه ای به نقطه دیگر متفاوت خواهد شد. حداقل می توان گفت که لنگر نیرو ( اندازه گشتاور نیرو ) در دو نقطه مختلف ، متفاوت است و ممکن است جهت آنها نیز متفاوت باشد.

10-1) قضیه دوم :

 
 
 

اشکال 5-1 الی 7-1 در شکل 8-1 با هم نشان داده شده اند تا مختصات برداری آن سیستم نیرو در هر دو نقطه I و J پیدا شود. بنا به مطالب قبلی روی محمل        تک تک نیروها نقطه دلخواه انتخاب و هر یک از آنها با A i نشان داده شده اند تا به کمک آنها ضرب خارجی انجام و گشتاور تک تک نیروها در هر دو نقطه I و J به دست آید. لذا I و J را به تک تک آن نقاط وصل کرده و بردار فرض شده اند. و فقط برای سادگی ، تنها به نقطه A i وصل شده است ، در نتیجه مختصات برداری آن سیستم نیرو در آن دو نقطه به صورت زیر خواهند بود :

FI = FJ

 

و

 

 

 

 

 

JAi = JI + IAi      ,       i = 1 , 2 , 3 , . . .

اکر دو نقطه I و J را به هم وصل کنیم آنگاه n مثلث به دست می آیدکه در ضلع IJ مشترک هستندکه فقط یکی از آنها نشان داده شده است. اگر ضلع مشترک آنها را نیز بردار فرض کنیم آنگاه n رابطه زیر را خواهیم داشت :

 

 
 

این روابط برداری را در مختص دوم نقطه J قرار می دهیم که بترتیب خواهیم داشت :

 
 

MJ = MI + ( JI Ù FI )

 
 

 

 

 

 

 

از اینجا نتیجه می شود که اولاً در حالت کلی ، مجموع گشتاور نیروها در آن دو نقطه با هم برابر نیست و ثانیاً مجموع گشتاورها در نقطه دوم برابر است با با مجموع گشتاورها در نقطه اول بعلاوه گشتاور مختص اول آن نقطه نسبت به نقطه دوم.

 

شکل 8-1          

 

مسئله : مختصات برداری سیستم نیروی داده شده را در نقاط I و J بدست آورید.

(روی F1~F11 علامت بردار هست)

 F1(50,0,0) Þ F1=50i        

F2(0,20,0) Þ F2=20j        

F3(0,0,-10) Þ F3=-10k     

F4(0,-40Cosq,40Sinq) Þ  

   F4=-32j+24k                     

      F5(0,0,-10) Þ F5=-10k    

F6(-40,0,0) Þ F6=-40i     

قضیه اول

 

F8(10,0,0) Þ F8=10i  ,  F10(0,-20,0) Þ F10=-20j  ,  F11(-30,0,0)ÞF11=-30i

 

    F7(0,0,.-30) Þ F7=-30k  ,  F9(0,-30Cosq,30Sinq) Þ F9=-24j+18k        

M1 = IA1 Ù F1 , A1(0,6,0) Þ IA1= 6j Þ M1 = (6j) Ù (5i) = -300k

M2 = IA2 Ù F2 , A2(-4,6,0) Þ IA2 = -4i+6j Þ M2 = (-4i+6j) Ù (20j)= -80k

M3 = IA1 Ù F3 Þ M3 = (6j) Ù (-10k) = -60i

M4 = IA4 Ù F4 = (-4i+6j+3/2k) Ù (-32j+24k) Þ M4 = 192i+128j+96k

M5,6 = IA5 Ù (F5+F6) = (-4i+2j+6k) Ù (-40i-10k) Þ M5,6= -20i-280j+80k

M8,9 = IA8 Ù (F8+F9) = (4j+3k) Ù (10i-24j+18k) Þ M8,9 = 144i+30j-40k

M7,10,11 = IA7 Ù (F7+F10+F11) = (2j) Ù (-30i-30j-30k) Þ M = -60i-60k

M12 = 100 j  ,  M13 = 120i

MI = å Mi Þ MI= 316i-54j-152k مختص دوم         

 

FI = -10i-56j-8k

مختص اول

 

 مختص اول در هر دو نقطه برابر است.                                              FJ = -10i-56j-8k

 

بر طبق قضیه دوم داریم :        MJ = MI - ( IJ Ù FI )  Þ MJ = MI + ( JI Ù FI )           

I (-4,0,6) Þ IJ = -4i+6k                                                                         

MJ = (316i-54j-152k) – ((-4i+6k) Ù (-10i-56j-8k)) = 652i-82j-376k     

11-1) قضیه سوم :

بنا به قضیه دوم و مانند قسمت دوم مسئله قبلی ، مختص دوم در نقطه J با استفاده از مختصات برداری آن سیستم نیرو در نقطه I از رابطه روبرو بدست آمد : MJ=MI+(JIÙFI)

بنا به قضیه اول ، مجموع برداری نیروها یعنی مختص اول ، برداری است آزاد و لذا اگر در یک نقطه مقدرا آن صفر باشد در تمام نقاط فضا صفر خواهد شدو در این صورت جملة دوم طرف دوم در فرمول مذکور صفر شده و در نتیجه MI=MJ می شود. یعنی مختص دوم برداری آزاد خواهد شد. پس اگر مختص اول صفر باشد ، مختص دوم یعنی مجموع گشتاورهای نیروها ، برداری آزاد خواهد شد. در این صورت آن را کوپل می نامند یعنی کوپل مجموع گشتاورهای نیروهایی است که مجموع آنها صفر است.

12-1) قضیه چهارم :

بنا به قضیه اول ، اگر مختصات برداری سیستم نیرو محاسبه گردند و مختص اول صفر گردد ، مختص دوم بر طبق قضیه سوم برادری آزاد خواهد شد و لذا اگر مختص دون نیز صفر شود آنگاه در تمام نقاط فضا صفر خواهد گردید. از اینجا نتیجه می شود که اگر هر دو مختصات برداری در یک نقطة دلخواه صفر شوند ، در تمام نقاط فضا صفر خواهد شد. همچون سیستم نیرو را هم ارز با صفر گویند.

13-1) کوپل :

بنا به چهار قضیه اخیر مطابق شکل 9-1 ساده ترین نیرو که مجموع برداری آن صفر باشد ، یک جفت نیرو یا همان زوج نیرو است. یعنی نیرویی است F (موازی و مساوی و مختلف الجهت)     

 

شکل 9-1              

که بنا به قضیه سوم ، مجموع گشتاورهای آنها را در هر نقطة دلخواه پیدا کنیم ، یک بردار آزادی خواهد گردید که آن را کوپا نامیم. برای نمونه صفحه ای را در نظر می گیریم که از آنها نیرو می گذرد. نقطه دلخواهی مانند I را در صفحه آن نیروها در نظر گرفنه و گشتاورهای تک تک آنها را پیدا کرده و با هم جمع می کنیم. هر دو گشتاور در نقطه I عمود بر آن صفحه بوده و جهت هر دو به طرف بالا خواهد شد. مجموع آنها یعنی کوپل ، عمود بر صفحه و در جهت بالا قرار خواهد گرفت و چون برداری است آزاد می توان آنرا در هر نقطه از فضا رسم کرد. از اینجا می توان نتیجه گرفت که هر کوپل معادل یک زوج نیرو است و برعکس هر جفت نیرو نیز معادل یک کوپل      می باشد.

 

 

فصل دوم : تنش

1-2) مقدمه :جسمی را در نظر می گیریم که تحت تأثیر یک عده نیرو قرار گرفته و در حال تعادل می باشد. یعنی یا در حال سکون است و یا حرکت مستقیم الخط یکنواخت دارد. اگر آن را یک مقطع فرضی دوم دو قسمت کنیم و یکی از آن دو قسم را کناز بگذاریم ، قسمت باقی مانده باز بایستی در همان تعادل باقی بماند. به شرط اینکه عمل قسمت کنار گذاشته شده را به قسمت نگه داشته شده اعمال کنیم. بسته به این که تغییر شکل جسم نیز مطرح می شود و یا جسم ، صلب فرض می شود ، عمل قسمت کنار گذاشته شده دو نوع تعریف گردیده است. برای احسام صلب که تغییر شکل نمی دهند ، نیروهای داخلی و برای اجسامی که تغییر شکل آنها مطرح می شوند ، عمل قسمت کنار گذاشته شده تنش نامیده می شود. که موضوع اصلی این فصل است.

 

 

2-2) نیروهای داخلی و تنشها :

مطابق شکل 1-2 جسمی را در نظر می گیریم که تحت تأثیر یک عده نیروی خارجی قرار گرفته و در حال تعادل می باشد. یکی از مهمترین مشخصات هر جسم یا هر سازه شکل هندسی آن می باشد. فعلاً برای این جسم ، شکل هندسی مشخص انتخاب نگردیده است. در فصول بعدی ، شکل هندسی سازه و هر یک از قطعات سازه بحث و معرفی خواهد شد. چون این جسم در حال تعادل است ، یا در حال سکون بوده و یا حرکت مستقیم الخط یکنواخت دارد. که اولی را تعادل استاتیکی و دومی را تعادل دینامیکی گویند. این جسم را با یک مقطع دلخواه فرضی به دو قسمت A وB تقسیم کرده و یکی از دو قسم مثلاً قسمت B را کنار گذاشته و مطابق شکل 2-2 قسمت A را نگه می داریم. برای اینکه قسمت A در همان تعادل قبلی باقی بماند، بایستی عمل قسمت کنار گذاشته شده را در مقطع داده شده به قسمت A اعمال کرد. بسته به اینکه هدف اثر قسمت کنار گذاشته شده ، چگونه باشد به دو صورت تعریف گردیده است : 1. اگر فقط تعادل قسمت A مطرح شود و از تغییر شکل آن صرفنظر گردد ، و یا بعبارت دیگر جسم صلب فرض گردد ، عمل فسمت کنار گذاشته شده را به صورت برادری به مرکز سطح وارد می کنیم. و مرکز سطح نقطه ای مانند G است که بنا به مطالب استاتیک ، یک نقطه هندسی است که گشتاور استاتیک سطح مقطع نسبت به هر خطی که از آن مرکز بگذرد صفر است. اگر مجموع برداری نیروهای کنار گذاشته شده ( F ) و مجموع گشتاورهای آن نیروها (M) در آن مرکز به قسمت A اعمال کنیم ، این قسمت در همان تعادل قبلی باقی خواهد ماند. مسلماً این جسم بایستی صلب باشد یعنی در اثر نیروها تغییر شکل ندهد و بعبارت دیگر تغییر شکلها صفر فرض شود. زیرا عمل قسمت کنار گذاشته شده فقط در مرکز مقطع نبوده بلکه بر تمام ذرات مقطع نیرو اعمال می شود که تغییر کل مکان هر یک از آن ذرات ، تغییر شکل جسم را مشخص می کند. اگر تغییر شکل صفر فرض   

 
 

شود ، همین مختصات برداری برای تعادل کافی است.

شکل 2-2

شکل 1-2

 

 

 

 

 

 2. در نوع دوم مطابق شکل 3-2 بیشمار نیرئ در نظر میگیریم که بر ذرات مقطع اعمال شده ، ضمن اینکه این قسمت را در حال تعادل نگه می دارد ، همان تغییر شکل های واقعی را ایجاد   می کند. حالت اول را نیروهای داخلی و حالت دوم را بردارهای تنش گویند. چون برای هر جسم متعادل در معادله ، تعادل برداری می توان نوشت. با آن دو معادله برای مختصات برداری فقط یک دسته جواب بدست خواهد آمد. ولی چون تعداد بردارهای تنش بیشمار است برای آنها بیشمار جواب می توان یافت. سعی خواهد شد از بین بیشمار جواب ، ساده ترین آنها محاسبه شود. در آن صورت منحصر بفرد خواهند شد که در عمل آنها را بردارهای تنش گویند.

شکل 3-2

 

 

 

 

3-2) نیروهای داخلی :

در شکل 2-2 که در شکل 4-2 تکرار گردیده است ، محور جهت داری به نام محور قائم یا نرمال طوری انتخاب می شود که مبدأ آن همان مرکز سطح مقطع بوده و امتداد آن عمود بر مقطع و جهت آن از داخل به خارج باشد. هد دو مختصات برداری را روی آم محور نرمال و سطح مقطع به دو مولفه تجزیه می کنیم. چهار بردار به دست می آید که بردار Fn را که روی نرمال قرار گرفته ، نیروی محوری یا نیروی قائم یا نرمال نامند و Ft را که روی سطح مقطع واقع شده ، نیروی برشی یا تلاش برشی ، و Mn را که روی محور نرمال واقع است ، گشتاور پیچشی و Mt را که روی سطح مقطع قرار گرفته ، گشتاور خمشی نامند و آن چهار بردار را نیروهای داخلی جسم در مقطع داده شده گویند. لازم به توجه است که این نیروهای داخلی ، نیروهای واقعی نبوده بلکه نیروهای مجازی می باشند که برای ساده شدن حل مسأله برای تعادل اجسام صلب تعریف گردیده است.

 

شکل 4-2

 

 

 

 

4-2) بردار تنش :

در شکل 3-2 بیشمار نیرو در مقطع داده شده به این خاطر اعمال شده اندکه علاوه بر تعادل قسمت A ، تغییر شکل های واقعی را نیز در مقطع ، مشخص می سازیم. همانطور که گفته شد برای این نیروها بیشمار دسته جواب می توان پیدا کرد که ساده ترین آنها را بردارهخای تنش گویند. برای این منظور مطابق شکل 6-2 همان مقطع را به n قسمت مساوی یا نامساوی تقسیم می کنیم. باز بر هر یک از آن قسمتها بیشمار از آن نیروها اعمال خواهد شد. نیروهای وارد بر هر قسمت را جمع کرده و به صورت نیروی منفرد بر مرکز آن سطح کوچک اعمال می کنیم. مسلماً باز این قسمت در همان حالت تعادل باقی خوهاد ماند. زیرا به جای همان نیروها ، هم ارز آنها قرار داده شده است. ولی هر چند که تغییر شکل مقطع در این حالت تغییر شکل واقعی نیست ولی به تغییر شکل واقعی نزدیکتر خواهد بود ، زیرا در تغییر شکل واقعی به تمام ذرات مقطع نیرو اعمال می شود ، در صورتیکه در این حالت فقط به n نقطه نیرو اعمال شده است. البته هر اندازه تعداد تقسیمات بیشتر انتخاب شود ، خطای حاصل کوچکتر خواهد شد و یا هر یک از این نیروها را به مساحت آن قسمت تقسیم کرده ، مطابق شکل 7-2 بصورت بار گسترده یکنواخت به تک تک آن قسمتها اعمال می کنیم. باز تعداد مجهولات همان n خواهد گردید ولی چون در این حالت به تمام ذرات مقطع نیرو اعمال می شود در نتیجه تغییرشکل آن به تغییر شکل واقعی خیلی نزدیکتر خواهد شد. با بیشتر کردن تعداد تقسیمات و بالاخره با بی نهایت کردن آن ، مقدار تغییر شکل واقعی بدست می آید. اگر تعداد تقسیمات را بی نهایت کنیم ، مساحت تک تک قسمتها ، دیفرانسیل و هر یک از نیروهای منفرد نیز دیفرانسیل شده و خواهیم داشت :

زیرا مشتق هر برداری یک بردار است و آنرا بردار تنش گویند. پس اولاً

 

½n=¥

                              

 

 
 

 تنش مانند نیروی داخلی یک کمیت فیزیکی فرضی است و تنش در حالت کلی کمیت برداری است و در هر نقطه از مقطع ، مشتق نیروی داخلی نسبت به مساحت مقطع است و در مقطع داده شده توزیع می گرددو بسته به این دارد که مشتق نیروی داخلی در کدام نقطه از مقطع محاسبه می گردد و مطابق شکل 8-2 از نقطه ای به نقطه ای دیگر مقطع تغییر می کند. در این شکل فقط برای نمونه سه بردار تنش در سه نقطه مختلف داده شده است.

شکل 7-2

 

شکل 6-2

شکل 8-2

 

 

 

 

 

 

5-2) بردار تنش :

در شکل 8-2 در سه نقطه از مقطع داده شده ، بردار تنش نشان داده شده است و نماد هر

 

 

سه F انتخاب گردیده است ، چون در حالت کلی تنش از نقطه ای به نقطه ای دیگر مغییر می کند ، نمادF برای بردار تنش نماد مناسبی نخواهد بود. زیرا نشان نمی دهدکه این بردار تنش اولاً برای کدام مقطع است و ثانیاً در کدام نقطه از مقطع می باشد. برای این منظور مطابق شکل 9-2 مقطع دلخواهی از همان جسم را در نظر می گیریم که در این حالت کلی مقطع مسطح نبوده و ممکن است سطح انحناداری باشد. برای مشخص کردن بردار تنش در هر نقطه مانند H ، محور عمود بر مقطع را طوری انتخاب می کنیم که مبدأ آن در نقطه H بوده و امتداد آن عمود بر مقطع و جهت آن از داخل به خارج باشد و آنرا محور نرمال نامیده و مثلاً با +n نشان می دهیم زیرا اگر این قسمت A را کنار گذاشته و قسمت بالا را نگه داریم ، محور نرمال در همان نقطه ، همین مبدأ و همین امتداد را خواهد داشت و فقط جهت آن معکوس خواهد شد. در این صورت آن محور نرمال را با –n نشان داده خواهد شد. در هر حال اگر محور نرمال معلوم باشد ، مبدأ آن نقطه اثر بردار تنش خواهد گردید که همان نقطه H است. از نقطه H بیشمار مقطع می گذرد ، آن مقطعی را باید در نظر گرفت که بر محور نرمال عمود باشد و آن قسمت را باید کنار گذاشت که جهت محور نرمال نشان می دهد. به این دلیل یکی از مهمترین نماد تنش F+n خواهد شد.

شکل 9-2

 

 

 

6-2) تابع تنش :

برای ساده شدن محاسبا ت بهتر استمحورهای مختصات دلخواهی مثلاً همان محورهای مختصات دکارتی (x,y,z) به جسم وابسته گردد. در این صورت نقطه اثر بردر تنش یعنی نقطه H مختصاتی مانند (x,y,z) پیدا خواهد کرد. چون بردار تنش از نقطه ای به نقطه ای دیگر تغییر می کند ، بردار تنش علاوه بر اینکه تابع محور نرمال می باشد ، تابعی از مختصات نقطه اثر خود نیز خواهد شد و لذا در حالت کلی بردار تنش به صورت تابع چهار متغیره F+n(x,y,z) نوشته  می شود که سه متغیر آن اسکالرهای x,y,z می باشد و متغیر چهارم آن در اندیس نوشته شده است.

7-2) تنش تانسوری :

 

طبق مطالب گفته شده مطابق شکل 10-2 در نقطه ای مانند H در مقطع داده شده ، المان سطح بی نهایت کوچک به مساحت ds را در نظر می گیریم. فرض کنید +n محور نرمال مقطع در همان نقطه H باشد. چون جهت محور نرمال از داخل به خارج است ، نشان می دهد که قسمت بالای مقطع ، کنار گذاشته شده است و قسمت پایین نگه داشته شده است.اگر در مختصات دکارتی این نقطه H(x,y,z) باشد بردار تنش با تابع F+n(x,y,z) نشان داده می شود که دارای چهار متغری است که سه متغیر آن اسکالرهای x,y,z و متغیر چهارم آن در اندیس نوشته شده است. زیرا اگر نقطه H ثابت باشد و مقطع حول آن دوران کند ، محور نرمال تغییر جهت داده و چون بردار تنش عوض می شود ، تابعی از محور نرمال می گردد. در نتیجه اگر بردار n بردار یکه محور نرمال باشد ، بردار تنش تابعی از این بردار یکه خواهد شد. هر تابعی را که حداقل یکی از متغرهای آن بردار یکه باشد ، تابع تانسوری گویند.

شکل10-2

 

 

 

پس در حالت کلی یک تانسور است. در حالت خاص ممکن است بردار و در حالت ساده تر ممکن است اسکالر گردد. اگر مطابق شکل 11-2 همان مقطع را در نقطه H در نظر گرفته ، این بار قسمت پایین را کنار گذاشته و قسمت بالا را نگه داریم، محور نرمال همان امتداد را پیدا کرده ولی جهت آن عوض خواهد شد. به این دلیل با –n نشان داده شده است و بردار تنش F-n(x,y,z) خواهد شد. و بنا به اصل عمل و عکس العمل خواهیم داشت :

 
 

 

 

                             همین عبارت نشان می دهد که بردار تنش تابعی از محور نرمال است، زیرا                      

شکل11-2

                            در آن x,y,z ثابت مانده و جهت محور نرمال عوض شده ، علامت بردار تنش را عوض کرده است یعنی اگر علامت اندیس بردار تنش تغییر کند ، علامت خود بردار تنش نیز تغییر می کند.

8-2) مولفه های بردار تنش :

 
 

بردا تنش در نقطه H مقطع داده شده در شکل 12-2 نشان داده شده است ، هر چند که محور نرمال رسم نگردیده ولی از روی قسمت نگهداشته شده جهت محور نرمال را می توان نعیین کرد که از داخل به خارج خواهد شد. محورهای مختصات دلخواه به این جسم وابسته شده اند. بردار تنش را می توان به سه مولفه به موازات آن سه محور تجزیه کرد. هر کدام ازآن سه مولفه را که موتزی هر کدام از محورها است با اسم آن محور و با حرف بزرگ نشان خواهیم داد که در نتیجه داریم :  

شکل 12-2

 

 

 

 

9-2) تنش های قائم برشی :

            F+n = Fnn + Fnt

در شکل 13-2 بردار تنش در نقطه ای مانند H از مقطع داده شده و رسم گردیده است. این بردار تنش را می توان به دو مولفه واقع روی محور نرمال و سطح مقطع تجزیه کرد که Fnn تنش قائم Fnt را تنش برشی گویند و می توان نوشت :

 

بردار تنش همراه با تنش های قائم و برشی یک مثلث قائم الزاویه تشکیل می دهند که بردار تنش وتر آن است. اگر مقطع حول نقطه H دوران کند ، تنش های قائم و برشی تغییر خواهد کرد. اگر تنش برشی کوچکتر شده و صفر گردد آنگاه تنش قائم max خواهد شد و آن را تنش اصلی گویند. در این صورت تنش برشی روی مقطع صفر خواهد شد که آن مقطع را صفحه اصلی و محور نرمال آن را امتداد اصلی نامند.

شکل 13-2

 

 

 

 

10-2) تانسور تنش ها :

 

شکل 15-2

 

مطابق شکل 14-2 جسمی را در نظر می گیریم که در حال تعادل بوده و پایدار است و تحت تأثیر نیروهای خارجی قرار گرفته است. برای سادگی ، نیروهای خارجی و تکیه گاه های آن نشان داده نشده اند. نقطه ای مانند H را در داخل این جسم انتخاب کرده و محورهای مختصات دلخواه x,y,z را به آن جسم وابسته می کنیم. از نقطه H بیشمار مقطع می گذرد و فقط سه تا از آن نشان داده شده است که موازی سه صفه مختصات قرار دارند. یکی از آنها با صفحه قائم موازی است یعنی بر محور x عمود است. قسمت جلویی آن مقطع را کنار گذاشته ، قسمت پشتی را در شکل 15-2 نگه داشته ایم. نرمال در نقطه H موازی و هم جهت با محور x قرار گرفته. پس محور +x است. بردار تنش در نقطه H به سه مولفه ، موازی محورها تجزیه شده و در نتیجه می توان نوشت :

 

  

شکل 14-2

 

 

در این سه جمله ، اولی تنش قائم و دو تای دیگر تنشهای برشی هستند.

 

حال مقطع دیگری موازی با صفحه نیمرخ یعنی عمود بر محور y انتخاب می کنیم. در شکل   16-2 سمت راست آن کنار گذاشته شده است ، نرمال در نقطه H محور +y خواهد شد. بردار تنش در آن نقطه به سه مولفه تجزیه گردیده و داریم :

شکل 16-2

 

 

 

 

 

 

 

در این جمله نیز جمله وسط تنش قائم و دو تای دیگری تنش های براشی هستند.

 

مقطع سوم با صفحه افق موازی است که در شکل 17-2 قسمت بالایی آن کنار گذاشته شده است. لذا محور نرمال در نقطه H محور +Z است. تنش در آن نقطه نیز به سه مولفه در امتداد محورهای مختصات تجزیه شده است پس داریم :

 

شکل 17-2

 

 

 

 

 

در این جمله نیز ، عبارت آخر تنش قائم و دو تای دیگر تنش های برشی هستند.

در نتیجه اگر اسم تنش با اسم اندیس یکسان باشد آن تنش ، تنش قائم است و در غیر این صورت آن تنش ، تنش برشی می باشد. آن سه عبارت را می توان با رابطه ماتریسی زیر نشان داد.

F+x

 

F+y

 

F+z

 

=

 

I

 

J

 

k

 

 

 

 

 

 

 

عناصر این ماتریس مربع ، تصاویر بردارهای تنش روی محورهای مختصات می باشند. پس اگر محورهای مختصات به موازات خود حرکت کنند ، عناصر این ماتریس تغییر نخواهند کرد و     بردار های یکه نیز عوض نخواهند شد. ولی اگر محورهای مختصات حول مبدا دوران کنند ، تمامی این نه عنصر عوض خواهند شد و بردار های یکه نیز تغییر جهت  خواهند داد. پس تمام این عناصر توابعی از بردارهای یکه محورهای مختصات می باشند که آنها را در جدول مربعی شکل مانند مانند جدول زیر قرار داده ، که آنرا تانسور تنش گویند. این تانسور تنشها علاوه بر اینکه تابعی از (x,y,z) یعنی مختصات نقطه H می باشد ، تابعی از سه بردار یکه i , j , k می باشد و چون بین آن سه بردار رابطه i Ù j = k وجود دارد ، تابع دو بردار یکه خواهد شد و به این دلیل آنرا تانسور دو بعدی گویند.

 

 

 

11-2) توزیع تنش در یک نقطه :

در شکل 18-2 همان جسم دوباره نشان داده شده است. در چندین نقطه بر جسم بزرگتری تکیه داده است تا آن جسم بزرگتر اجازه ندهد این جسم حرکت آزاد یا چرخش آزاد داشته باشد. در اینصورت گویند که این جسم پایدار است. در مطالب قبلی در یک نقطه هندسی مانند H سه مقطع موازی با صفحات مختصات انتخاب  و به کمک آنها تانسور تنشها نوشته شد. در همان نقطه H یک نقطه مادی به شکل مکعب مستطیل طوری انتخاب کرده ایم که یالهای آن موازی محورهای مختصات می باشند در نتیجه طول یالها برابر dx , dy , dz خواهند شد. این مکعب مستطیل دارای 6 وجه می باشد که فقط 3 وجه آن قابل روئیتند. از آنجا که تک تک این وجوه بی نهایت کوچکند ، بردار تنش در هر یک از وجوه آن بطور یکنواخت توزیع خواهد شد. برای رسم توزیع تنش ، آن نقطه مادی را از بقیه جدا کرده ، مطابق شکل 19-2 با اشل بزرگی رسم می کنیم. نماد این بردارهای تنش در مطلب قبلی مشخص شده اند. بعلت پیچیده بودن این شکل توزیع تنش در سه وجه نامرئی رسم نگردیده است. برای ساده شدن شکل و برای نشان دادن توزیع تنش در تمامی وجوه اگر بردار تنش در هر سطحی چه کوچک و چه بزرگ یکنواخت توزیع شده باشد ، فقط یکی از بردارهای تنش در مرکز آن سطح رسم خواهد شد. در این صورت توزیع تنش در 6 وجه آن نقطه مادی مطابق شکل 20-2 خواهد شد. بنا به مطالب گفته شده ، هر یک از این بردارهای تنش را می توان به سه مولفه موازی محورهای مختصات تجزیه کرد. لذا اگر مطابق شکل 21-2 بردارهای تنش سه وجه مقابل را که مرئی هستند به مولفه های خود تجزیه کنیم ، نه عضو تانسور تنشها بدست می آید که سه تا از آنها تنش قائم و شش تای دیگر تنشهای برشی اند. این تنشهای برشی دو به دو بر هم عمودند. با مراجعه به تانسور تنشها دیده می شود ، تنشهای برشی عمود بر هم در آن تانسور نسبت به قطر اصلی قرینه همدیگرند.

 
 
 

شکل 18-2

شکل 19-2

شکل 20-2

شکل 21-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12-2) قضیه :

در شکل 20-2 هفت نیرو بر نقطه مادی اعمال شده است و نقطه مادی در حال تعادل قرار گرفته است. شش نیرو از شش دسته تنش حاصل می شوند کگه در هر وجه به طور یکنواخت توزیع شده اند. پس نیروی هر وجه به طور یکنواخت برابر است با تنش آن وجه در مساحت آن وجه. واضح است که این نیروها در دو وجه موازی ، مساوی و مختلف الجهت می باشند. زیرا قبلاً ثابت شده است اگر علامت اندیس بردار تنش عوض شود ، جهت خود بردار تنش عوض می شود.

F1 = F+x . dy . dz

F2 = F+y . dx . dz

F3 = F+z . dx . dy

 

 

-F1 = F-x . dy . dz

-F2 = F-y . dx . dz

-F3 = F-z . dx . dy

 

 

dV = P . dx . dy . dz

 

 

 

 

 

 

 

نیروی هفتم نیروی حجمی است. نیروی حجمی ، نیرویی است که بر تمام ذرات داخل جسم اعمال می شود مانند نیروی وزن ، میداهن مغناطیسی یا نیروی زلزله که چون این نقطه مادی بینهایت کوچک است پس نیروی حجمی در داخل آن یکنواخت اعمال می شود. در نتیجه اگر شدت نیروی حجمی یعنی نیروی وارد بر حجم را P فرض کنیم آنگاه حاصلضرب آن در حجم نقطه مادی ، نیروی حجمی است. پس این هفت نیرو بصورت بالا می باشد. چون نقطه مادی در حال تعادل است پس مجموع این هفت نیرو بایستی صفر شود. مجموع شش نیروی اول صفر است زیرا دو به دو مساوی و مختلف الجهت می باشند. پس نیروی هفتم نیز صفر خواهد شد.

از اینجا نتیجه می شود در مطالعه تنشها ، نیروی حجمی در مقابل تنشهای حاصله قابل صرفنظر می باشد. لازم به توجه است که خود این تنشها در اثر نیروی حجمی بوجود آمده اند.

13-2) تنش سه محوری :

 

در شکل 22-2 در همان نقطه H المان مکعب مستطیل با ابعاد بی نهایت کوچک طوری انتخاب شده است که بردارهای تنش در هر 6 وجه برآن وجوه عمودند. در نتیجه خود بردار تنش در هر وجه ، تنش قائم آن وجه می باشد و در تمامی وجوه تنشهای برشی صفر است و آنرا تنش سه محوری گویند. تانسور این تنشها بصورت زیر نوشته می شود.

 

شکل 22-2

 

 

 

 

 

14-2) تنش دو محوری :

شکل 23-2

 
 

اگر در یک حالت خاص مطابق شکل 23-2 یکی از آن تنشهای اصلی صفر باشد ، آنرا تنش دو محوری گویند. معمولاً محورهای مختصات را طوری انتخاب می کنند که دو محور x , y موازی تنشهای مخالف صفر قرار گیرند. برای این تنش دو محوری تانسور تنش بصورت زیر نوشته      می شود.

 

15-2) تنش تک محوری :

شکل 24-2

 
 

اگر در یک حالت خاص دیگر از سه تنش اصلی ، دو تنش اصلی صفر باشد آنرا تنش تک محوری نامیده و محورهای مختصات را طوری انتخاب می کنند که مطابق شکل 24-2 محور z موازی این تنش قرار گیرد. تشخیص تنش تک محوری بسیار آسان است. یکی از تنشها را پیدا   می کنیم ، مقطعی عمود بر آن صفحه اصلی خواهد شد. اگر صفحه اصلی دیگری وجود داشته باشد بایستی بر آن صفحه عمود گردد. صفحات عمود بر آن صفحه را انتخاب کرده ، تنشها را روی آنه مطالعه می کنیم. اگر تنشی وجود داشته باشد ، تنش اصلی دوم بوده و تنش ما از نوع دو محوری است و در غیر اینصورت تنش ما تک محوری است.

 

 

 

 

فصل سوم : تنش تک محوری

3-1) مقدمه :

مطابق شکل 1-3 منشور مستقیمی را در نظر می گیریم ، منشور قطعه ای است که یک بعد آن در مقابل دو بعد دیگر خیلی بزرگ می باشد. مقطعی عمود بر بعد بزرگتر منشور را در سطح بسته ای قطع می کند. این سطح دارای یک مرکز می باشد که مرکز هر سطح یک نقطه هندسی است که گشتاور استاتیک آن سطح نسبت به هر محوری که از آن مرکز بگذرد برابر صفر است. اگر مقطع فرضی عمود بر بعد بزرگتر حرکت کند آن مرکز مکانی را طی می کند که آن مکان را میان تار منشور گویند. اگر میان تار مطابق شکل 1-3 خط مستقیم باشد آن منشور را مستقیم گویند. فرض کنید این منشور دارای مقطع ثابت است یعنی شکل مقطع در طول منشور ،

 

شکل 1-3

 

شکل ثابتی است. با دو نیروی متقابل موازی با میان تار این منشور را بارگذاری می کنیم به طوری که امتداد آنها با میان تار منشور موازی و اندازه های آنها مساوی و مختلف الجهت باشند که دو حالت می تواند داشته باشد. اگر جهت آن دو نیرو به سمت همدیگر باشند ، نیروی فشاری و در غیر این صورت نیروی کششی است. مثلاً مطابق شکل آنها را کششی فرض می کنیم. مقطع عمود بر میان تار این منشور را دو قسمت کرده است. یکی از دو قسمت مثلاً قسمت سمت راست را کنار گذاشته ، مطابق شکل 2-3 قسمت سمت چپ را نگه می داریم. بنا به مطالب فصل قبلی در این مقطع بردارهای تنش توزیع می گردند که همراه با نیروی خارجی مانده این قسمت از منشور را در حال تعادل نگه می دارد. پس مجموع بردارهای تنش + نیرویF مانده مساوی صفر خواهد شد. از اینجا نتیجه می شود که بردارهای تنش با نیروی F موازی و مختل الجهت اند. پس در هر نقطه از مقطع مانند نقطه H بر مقطع عمود می باشند ، در نتیجه یکی از تنش های اصلی در آن نقطه می باشد خود مقطع داده شده نیز یکی از صفحات اصلی است در نتیجه اگر تنش اصلی دوم وجود داشته باشد بر این تنش عمود است و اگر صفحه اصلی دوم وجود داشته باشد بر این صفحه عمود خواهد شد لذا مطلبق شکل 1-3 مقطع دیگری در نظر می گیریم که بر مقطع قبلی عمود بوده و از نقطه H می گذرد ، با میان تار این منشور موازی خواهد شد منشور را دو قسمت خواهد کرده ، قسمت بالایی را کنا گذاشته مطابق شکل 3-3 قسمت پایین را نگه می داریم. اگر تنش اصلی دوم وجود داشته باشد بر این صفحه دوم عمود خواهد شد ، چون براین قسمت نگه داشته شده نیروی خارجی اعمال نشده در آن مقطع تنش نیز وجود نخواهد داشت پس صفحه اصلی دوم و تنش اصلی ئوم وجود ندارد و در تمام نقاط منشور تنش تک مجوری ایجاد می گردد.     

 

شکل 2-3

 
 

شکل 3-3

شکل 4-3

 

 

 

 

 

2-3) قضیه :

 

شکل 2-3 در شکل 4-3 تکمیل شده است. چون بردار تنش در مقطع داده شده یکنواخت توزیع نشده است ، سعی گردیده تمامی بردارهای تنش نشان داده شود. محورهای مختصات طوری انتخاب شده اند که مبدا مختصات در مرکز سطح مقطع قرار گرفته و محور Z عمود بر مقطع و جهت آن از داخل به خارج است. پس در امتداد میان تار منشور قرار دارد. د. محور X و Y روی سطح مقطع طوری انتخاب شده اند که این دستگاه محورهای مختصات مستقیم باشد     ( یعنی i Ù j = k ). چون بردارهای تنش در مقطعی توزیع شده اند که نرمال آن جهت مثبت محور Z است با نماد f+z نشان داده شده است. روی سطح این مقطع نقطه متحرکی مانند H را در نظر می گیریم و چون نقطه ثابتی نیست ، مختصات آن پارامترهای متغیر H(x,y) خواهد شد ولی نقطه A محل برخورد امتداد نیرو با مقطع ، نقطه ای است ثابت ، و مختصات آن را با پارامترهای ثابت A(x0,y0) فرض می کنیم. اگر در نقطه متحرک H المان سطح بی نهایت کوچک به مساحت ds انتخاب کنیم و داریم :

P = ò f+z . ds

 این نیروی dp که در شکل نیز نشان داده شده است ، مجموع بردارهای تنش وارد برآن المان سطح است. با انتگرال گیری از آن مجموع بردارهای تنش به دست می آید :

چون بردارهای تنش موازی و همجهت با محور Z قرار دارند پس f+z = f+z .k  بوده و در نتیجه خواهیم داشت : P = k ò f+z . ds

چون این قسمت از منشور در حال تعادل است ، مجموع نیروهای وارد برآن صفر خواهد شد یعنی

 

 

P +F = 0    و چون نیروی F موازی و مختلف الجهت با محور Z قرار دارد پس F = - F.k   می باشد. پس خواهیم داشت :

 

از این عبارت نتیجه می شود در تنش تک محوری تنش نه تنها بردار نمی باشد بلکه کمیت تانسور نیز نبوده و یک کمیت جبری است زیرا تابع هیچ یک از بردارهای یکه نمی باشد لذا نماد تنش را به صورت ساده روبرو انتخاب می کنیم :

3-3) دومین معادله تعادل :

(1) , (2) Þ ò (x.i + y.j )Ù( f+z .ds.k) + (x0.i + y0.j )Ù(-F.k) = 0

                  = -jò x.f+z.ds + iò y.f+z.ds + x0.F.j – y0.F.i

(1) :

ò GH Ù dp + ò GA Ù F = 0

در مطلب قبلی مجموع نیروهای وارد بر قسمت نگه داشته شده منشور صفر قرار داده شده که آن را معادله تعادل گویند. صفر شدن مجموع نیروها شرط لازم تعادل بوده ولی کافی نیست و بایستی مجموع گشتاورهای نیرو نیز صفر گردد. گشتاور نیروی dp در مبدا مختصات که مرکز سطح مقطع است GH Ù dp در نتیجه مجموع گشتاورهای تنش برابر ò GH Ù dp می باشد. چون نقطه A یک نقطه از محمل نیروی F می باشد ، گشتاور آن نیرو نیز برابر GA Ù F پس دومین معادله تعادل به صورت زیر نوشته می شود :

  GH = x.i + y.j

  dp = f+z .ds . k

  GA = x0.i + y0.j

   F = - F . k

  

(2) :

  

(3)

 

 

 

با در نظر گرفتن مختصات نقاط H,A و با استفاده از مطالب قبلی چهار بردار (2) را داریم.

در نتیجه می توان دومین معادله تعادل به صورت (3) نوشته می شود. چون این بردار صفر شده است ، تصاویر روی محور مختصات صفر خواهد شد در نتیجه داریم :

ò x.f+z.ds = x0.F                        ,               ò y.f+z.ds = y0.F               

 

 

4-3) قضیه :

خلاصه چند مطلب اخیر به صورت زیر می باشد :

ò x.sz.ds = x.F       ,         ò y.sz.ds = y.F      ,              ò sz.ds = F         

 

 

 

    sz ò x.ds = x.f

    sz ò y.ds = y.f

 

با استفاده از این مطالب شرطی را می توان پیدا کرد که تنش در مقطع یکنواخت توزیع شده باشد. اگر تنش در مقطع یکنواخت باشد مقدار آن ثابت بوده و از انتگرالها خارج می شود و دو انتگرال اول به صورت روبرو در می آید :

 

 

       sz . dy = x.f

      sz . dx = y.f

انتگرال اولی گشتاور استاتیک سطح مقطع نسبت به محور y و دومی گشتاور استاتیک آن سطح نسبت به محور x است که با نمادهای زیر نشان می دهند.

 

در استاتیک ثابت گردیده است گشتاور استاتیک هر سطح نسبت به هر محوری که از مرکز آن سطح می گذرد صفر است ، چون هر دو محور x,y از مرکز سطح مقطع می گذرند این دو گشتاور استاتیک صفر خواهند شد پس تنشی در مقطع وقتی یکنواخت خواهد شد که x0 + y0 = 0 باشند یعنی نقطه A در مبدا مختصات یعنی در مرکز سطح مقطع قرار گیرد ، با این شرط نیروی محوری خارجی بر میان تار منشور منطبق خواهد شد. لذا اگر نیروهای خارجی یا مجموع آنها روی میان تار منشور قرار گیرد تنش در مقاطع منشور یکنواخت توزیع خواهد شد.

5-3) مقدار تنش :

sz ò ds = F      Þ       sz . S = F       Þ        sz = F / S

اگر تنش در مقطع منشور یکنواخت توزیع گردد در مطلب قبلی تنش از داخل انتگرال سوم نیز خارج شده و خواهیم داشت :

 

در این صورت مقدار تنش برابر نیروی محوری تقسیم بر مساحت مقطع خواهد شد.

از این فرمول ساده در تمام مسایل نمی توان استفاده کرد. برای استفاده از این فرمول 9 شرط لازم است که در یکی از فصل های بعدی بطور کامل معرفی خواهند شد.

6-3) تنش در مقطع مورب :

در شکل 5-3 همان منشور مستقیم با مقطع ثابت نشان داده شده است که نیروهای خارجی بر میان تار آن منطبق بوده و طبق قضیه اثبات شده تنش در مقطع عمود بر میان تار به طور یکنواخت توزیع می شود. مقطع عمود بر میان تار نیز رسم گردیده است که طبق شکلهای قبلی مبدا مختصات در مرکز سطح مقطع انتخاب شده است. محور z عمود بر مقطع یعنی در امتداد میان تار و جهت آن از داخل به خارج است پس مطالب قبلی قسمت سمت راست مقطع کنار گذاشته شده است. دو محور x,y نیز طوری در مقطع انتخاب شده اند که آن دستگاه مختصات مستقیم باشد. مقطع دیگری در نظر می گیریم که عمود بر میان تار نبوده و نسبت به میان تار مایل می باشد. باز اگر سمت راست مقطع مورب را کنار بگذاریم در آن مقطع تنش توزیع خواهد شد که بنا به استدلال قبلی موازی و مختلف الجهت با بردار نیروی مانده در سمت چپ در مقطع خواهد شد. یعنی با میان تار موازی و با محور z همجهت خواهد شد. این مقطع مورب طوری انتخاب شده است که مانند مقطع قائم از محور x بگذرد. پس آن دو مقطع در محور x مشترکند ولی محور y فقط روی مقطع قائم قرار دارد. نظیر همین محور y را روی مقطع مورب انتخاب می کنیم. در مقطع مورب قرار گرفته و از مرکز سطح مقطع گذشته و باز بر محور x عمود است که با Y نشان داده شده است. پس زاویه بین دو محور y,Y زاویه بین آن دو مقطع است که q فرض گرفته ایم. اگر المان سطه بی نهایت کوچک به مساحت ds¢ روی مقطع مورب انتخاب کرده روی مقطع قائم تصویر کنیم مساحت تصویر ds = ds¢.Cosq خواهد شد. در بند 4-3 به

کمک دو انتگرال ثابت شد که اگر طبق همین شکل نیروهای محوری بر میان تار منطبق شوند آن دو انتگرال صفر شده و تنش در مقطع قائم یکنواخت توزیع خواهد شد. در آن دو انتگرال همین ds وجود دارد. اگر در آنها ds = ds¢.Cosq قرار دهیم ، Cosq از انتگرالها خارج شده باز همان دو انتگرال ظاهر خواهند شد و صفر خواهد گردید. از اینجا نتیجه می شود تنش در مقطع مورب نیز یکنواخت توزیع می شود و اندازه آن مساوی است با مقدار نیرو تقسیم بر مساحت مقطع یعنی:

 
 

(s = F/S) . چون S = S¢.Cosq است مقدار تنش در مقطع مورب برابر مقدار زیر خواهد شد :

 

 

شکل 5-3

 

 

7-3) توزیع تنش در مقاطع منشور :

 

در شکل 5-3 که یک شکل سه بعدی است مشکل و وقتگیر است ، برای ساده شدن شکل منشور ، از بغل و از امتداد محور x نگاه کرده و منشور را روی صفحه zy تصویر می کنیم. چون شکل مقطع در طول منشور ، شکل ثابتی می باشد. مطابق شکل 6-3 به صورت مستطیل دیده خواهد شد. دو محور z و y واقعی دیده شده ولی محور x که فصل مشترک دو مقطع قائم و مورب است که به صورت یک نقطه دیده می شود. نیروهای محوری ، زاویه بین دو مقطع به طور واقعی دیده می شود.

 

 

شکل 6-3

 

 

 

 به آسانی می توان یکی از دو طرف مقطع مورب و قائم را کنار گذاشته ، توزیع تنش را در هر دو مقطع نشان داد. توزیع تنش در مقطع قائم در شکل 7-3 و در مقطع مورب در شکل 8-3 نشان داده شده است که بنا به مطالب گفپته شده چون در هر دو مقطع تنش یکنواخت توزیع می شود فقط یکی از بردارهای تنش را در مرکز سطح مقطع نشان دادیم.     

شکل 7-3

 

 

 

شکل 8-3

 

 

 

 

 

8-3) مقادیر تنش های قائم و برشی :

sn = s.Cosq  Þ   sn = sz . Cos2q

شکل 8-3 به ط.ور تفصیلی در شکل 9-3 رسم گردیده است ، طبق مطالب فصل قبلی محور نرمال نیز نشان داده شده است. مبدا آن مبدا بردار تنش و امتداد آن عمود بر مقطع و جهت آن از داخل به خارج است و مانند فصل قبلی با +n نشان داده شده است. اگر بردار تنش را روی این محور نرمال و روی سطح مقطع تصویر کنیم ، مقادیر تنش های قائم و برشی به دست می آید. به آسانی دیده می شود که زاویه بین محور z و محور نرمال همان q است. پس مقدار تنش قائم برابر مقدار روبرو می باشد :

اگر تنش قائم مثل همین شکل در جهت مثبت محور نرمال قرار گیرد ، علامت آن مثبت و اگر در جهت خلاف آن واقع باشد ، علامت آن منفی خواهد شد. تصویر بردار تنش روی مقطع نیز نشان داده شده است که برای آن نیز لازم است علامت مثبت یا منفی تعیین گردد چون تنش برشی همواره روی محور y مقطع مورب قرار می گیرد ، علامت آن را می توان توسط آن محور تعیین کرد. بدین ترتیب آن محور را محور برشی نامیده و با +t نشان می دهند.پس تنش برشی در این

st = - s.Sinq       Þ       st = - (1/2). sz . Sin2q

شکل منفی بوده و برابر است با :  

 

شکل 9-3

 

 

 

 

 

9-3) مکان انتهای بردار تنش :

در محاسبه قطعات سازه ها لازم است توزیع max تنش در داخل قطعات رسم گردد زیرا اگر آن قطعه در اثر تنش ها گسیخته شده و ترک بردارد ، امتداد ترکها بر امتداد تنش های max عمود خواهد بود. شکل 9-3 نشان می دهد وقتی مقطع مورب حول محور x یعنی حول نقطه G دوران کند ، اندازه بردار تنش تغییر یافته ولی انتهای بردار تنش از آن محور خارج نمی شود در نتیجه انتهای بردار تنش روی محور z در طولی به اندازه دو برابر تنش اصلی نوسان می کند یعنی وقتی سمت راست کنار گذاشته می شود اندازه بردار تنش از صفر شروع شده و به max مقدار خود که تنش اصلی است می رسد ، همچنین وقتی قسمت سمت چپ کنار گذاشته می شود باز انتهای تنش در آن فاصله حرکت می کند.با مراجعه به مطالب قبلی دیده می شود به ازای q = p مقدار تنش قائم max برابر تنش اصلی و تنش برشی نیز صفر می شود. پس روی مقاطع عمود بر میان تار تنش برشی صفر بوده تنش قائم max برابر تنش اصلی است. به ازای q = p/2 , 3p/2 مقدار تنش برشی max می گردد و برابر نصف تنش اصلی می شود. پس اندازه تنش برشی هیچ وقت از نصف تنش اصلی تجاوز نخواهد کرد. به آسانی دیده می شود که به ازای q = p/4 , 3p/4 مقدار تنش قائم نیز نصف تنش اصلی است پس روی مقاطعی که با میان تار منشور زاویه °45 می سازند ، تنش های قائم و برشی با هم برابر و هر دو مساوی با نصف تنش اصلی است.

10-3) دایره مور :

Q

        n

        t

شکل 9-3 در شکل 10-3 دو باره رسم شده است. بنا به آخرین مطلب انتهای بردار تنش که با Q نشان داده شده است همواره روی محور z حرکت می کند. همچنین با دوران مقطع حول محور x انتهای بردار تنش یعنی نقطه Q در دستگاه محورهایی که از دو محور عمود بر هم +n و +t تشکیل یافته حرکت کرده و مکانی را طی می کند که بتزتیب زیر این امکان را می توان یافت. این امکان در اکثر مطالب بعدی کاربرد پیدا می کند. اگر مختصات انتهای بردار تنش را در دستگاه                   فرض کنیم به آسانی دیده می شود که برابر مقادیر تنش های قائم و برشی می باشد که در بند 8-3 محاسبه شده اند در نتیجه مکان انتهای بردار تنش از حذف پارامتر q بین دو مختص زیر به دست می آید :

        n = sn

        t  = st

Q

        n = sz . Cos 2 q

        t  = -(1/2).sz . Sin 2q

        n = (1/2)sz + (1/2)sz . Cos 2q

        t  = -(1/2).sz . Sin 2q

 

 

 

 

 

اگر از این دو عبارت Sin , Cos را پیدا کرده و در اولین اتحاد مثلثاتی قرار دهیم ، معادله مکان انتهای بردار تنش به صورت روبرو نوشته می شود :

        n = 1/2sz

        t  = 0

 

 

اگر این معادله در دستگاه دکارتی نوشته می شد به صورت                               در می آمد که معادله یک دایره است. پس انتهای بردار تنش روی دایره ای با مرکز و شعاع زیر حرکت می کند : 

I

 

 

 

در نتیجه مطابق شکل مرکز این دایره روی محور نرمال قرار گرفته ، از مبدا مختصات گذشته و بر محور برشی در نتیجه بر مقطع مورب مماس است ، آن را دایره مور می نامیم.

 

 

شکل 10-3

چون شعاع دایره مور ، نصف تنش اصلی و در نتیجه قطر

آن برابر تنش اصلی می باشد و چون مرکز دایره مور روی

محور نرمال قرار دارد اگر محور نرمال دایره را در نقطه ای

مانند A قطع کند ، GA قطر دایره مور بوده و برابر تنش اصلی

است. پس فاصله نقطه A از مبدا مختصات یعنی نقطه G مقداری است

 

شکل 11-3

ثابت و برابر تنش اصلی. پس خود نقطه A روی دایره ای قرار می گیرد که مرکز آن در نقطه G قرار گرفته و شعاع آن برابر تنش اصلی است. دایره مور همراه با مقطع مورب در داخل این دایره طوری حرکت می کند که از مرکز آن دایره گذشته و مماس داخل با آن دایره باشد ، از این رو   می توان بردار تنش هر مقطع مورب را پیدا کرد. مقطع مورب را رسم می کنیم که حتماً از مرکز سطح مقطع یعنی نقطه G می گذرد. محور نرمال به مبدا همان مرکز بوده ، بر مقطع مورب عمود است. محل برخورد آن با این دایره بزرگتر نقطه A خواهد شد. دایره مور به قطر GA رسم خواهد گردید چون انتهای بردار تنش همواره روی محور z قرار می گیرد و محل برخورد آن دایره مور با محور z انتهای بردار تنش آن مقطع مورب خواهد گردید.       

 

 

 

 

11-3) قضیه اول :

دایره مور با همان مشخصات در شکل 12-3 رسم گردیده است. نقطه Q که روی محور z قرار گرفته و محل برخورد دایره مور با آن محور است انتهای بردار تنش مقطع مورب می باشد. با

 

شکل 12-3

 

        GH¢ = s¢n

        Q¢H¢  = s¢t

        GH = sn

        QH  = st

با تصویر کردن این بردار تنش روی محورهای نرمال و برشی مقادیر تنشهای قائم و برشی برابر مقادیر روبرو می گردد :                  . چون دایره مور مکان انتهای بردار تنش می باشد هر نقطه از دایره مور را انتخاب کنیم انتهای بردار تنش یک مقطع موربی خواهد شد. محور y که بر محور z عمود است دایره مور را در نقطه ای مانند Q¢ قطع کرده است که انتهای بردار تنش Q¢ مربوط به مقطع مورب دیگری می باشد.چون دو محور z و y بر هم عمودند ، مقطع دوم بر مقطع اول عمود خواهد بود یعنی s و s¢بردارهای تنش دو مقطع عمود بر هم می باشند. با تصویر کردن s¢ روی محورهای قائم و برشی مقادیر تنش های قائم و برشی مقطع دوم برابر مقادیر زیر می گردد :                        . راس زاویة قائمه ای که از دو محور z و y ساخته شده روی دایره مور قرار دارد ، پس آن زاویه متقابل با قطر دایره مور است در نتیجه QQ¢قطر دایره مور بوده و اگر آنها را به هم وصل کنیم از مرکز دایره مور خواهد گذشت. با رسم آن قطر ، دو مثلث قاوم الزاویه به دست می آید که به آسانی ثابت می شود که با هم برابرند. از تساوی آنها نتیجه می شود تنش های برشی آن دو مقطع عمود بر هم با هم مساوی ولی مختلف العلامت می باشند. زیرا یکی در جهت مثبت محور برشی و دیگری در جهت خلاف آن قرار دارد ، پس تنش های برشی دو مقطع عمود بر هم با هم مساوی ولی مختلف العلامت خواهند بود یعنی اگر مطابق شکل 13-3 هر دو مقطع دلخواه عمود بر هم از منشور را انتخاب کنیم ، تنش های برشی آن دو مقطع با هم مساوی ولی تصاویر آنها روی محور z مختلف العلامت خواهند گردید یعنی به هم نزدیک و یا از هم دور خواهند شد.

شکل 13-3

 

 

 

 

12-3) قضیه دوم :

در شکل 12-3 از تساوی دو مثلث قائم الزاویه نتیجه می شود که HA = GH¢ ( باقی مانده شعاع ها) و همچنین GH+HA = GA برابر قطر دایره مور است ، پس GH+GH' = GA بوده و در نتیجه sn + s'n = sz است. از اینجا نتیجه می شود که دو مقطع عمود بر هم هر طوری انتخاب شوند و هر طوری حرکت کرده یا دوران کنند ، مجموع تنش های قائم آن دو ، مقداری است ثابت و برابر است با مقدار تنش اصلی.

فصل چهارم

- کشش و فشار خالص :

1-4) مقدمه :

برای شناخت خواص مکانیکی مواد لازم است روی آنها آزمایش انجام گیرد. لذا روی مصالح ساختمانی آزمایشاتی انجام داد ، خواص مکانیکی مواد را تعیین می کنند. بسته به اینکه نتایج آزمایشات چه کاربردی داشته باشد و چه هدفی از آزمایش انتظار می رود ، سه نوع آزمایش را   می توان مطرح کرد. اولی را آزمایش آموزشی می نامند که هدف از آن فقط آموزش بوده و نحوه آزمایش ، آشنایی با دستگاهها و تشخیص خواص مکانیکی از نتایج آزمایش یاد شده است که موضوع این فصل نیست.

 هدف دوم ، تحقیقاتی و رسیدن به نتایج دقیق و معرفی آن به جامعه مهندسی است که در آن زمان و هزینة آزمایش محدود نیست. نتایج آزمایش بایستی بطور دقیق و مطمئن مشخص گردد. این نوع آزمایش نیز موضوع این فصل نیست.

هدف سوم ، آزمایش کاربردی است که در زمان کوتاه بتوان خواص مکانیکی مواد را تعیین کرده و در عمل از آنها استفاده کرد. هر چند که 10 الی 15 در صد خطا داشته باشد.

مهمترین خواص مکانیکی مصالح 12 مورد است که اگر برای شناخت این 12 خاصیت آزمایشات صورت گیرد باز زمان لازم طولانی خواهد شد. دانشمندان و محققین با آزمایشات تحقیقاتی بین خواص مکانیکی مواد ، روابطی پیدا کردند. هر چند که زیاد دقیق نبوده و چند درصد خطا دارند ، ولی با آزمایش روی مصالح ساختمانی و شناخت یک یا دو خاصیت مکانیکی از روی این روابط می توان بقیه خواص را تعیین کرد که چه بهتر ساده ترین آن آزمایشات انتخاب گردد.

ساده ترین آزمایشات کشش و فشار است ، لذا در آزمایشات کاربردی روی مواد مختلف ، فقط آزمایشات کشش و فشار انجام داده ، از نتایج آن بقیه خواص مکانیکی را پیدا می کنیم.

2-4) نمونه آزمایش :  

برای آزمایش کشش ، نمونه آزمایش را به شکل منشور را انتخاب می کنند. منظور قطعه ای است که یک بعد آن در مقابل دو بعد دیگر خیلی بزرگ است. نیروهای کشش را در دو انتهای آن اعمال کرده ، نیروی کششی را بتدریج بیشتر کرده و خواص مکانیکی در مقابل کشش را تعیین         می کنیم.آزمایشات نشان می دهند که در اثر تغییر شکل جسم ، خواص مکانیکی تغییر می کنند. هر اندازه تغییر شکل بزرگتر باشد ، خواص مکانیکی نیز بیشتر تغییر می کند. چون در نزدیک نقطه اثر نیروها ، تغییر شکلها بیشتر است ، خواص مکانیکی نقاط مختلف منشور در طول آزمایش متفاوت خواهد شد. در منشور این امکان وجود دارد که مطابق شکل 1-4 در وسط منشور طولی مثلاً L طوری انتخاب کرد که به اندازه کافی از محل اثر نیروها دور بوده ، خواص مکانیکی تمام نقاط آن به طور مساوی تغییر کند و نتایج قابل مقایسه گردد. طول L را با رسم دو خط روی سطح جانبی نمونه و یا با ایجاد دو برجستگی می توان تعیین کرد. در دو انتهای منشور نیز ماهیچه یعنی برجستگیهای بزرگی ایجاد می کنند که به کمک آنها بتوان نمونه را به دستگاه آزمایش و وصل کرد. هر منشوری علاوه بر بعد بزرگتر دو بعد نیز در مقطع دارد ، یکی را بعد کوچکتر و دیگری را بعد متوسط منشور گویند که ممکن است در بعضی از منشورها آن دو بعد مساوی باشد ، در هر حال اگر e بعد متوسط باشد ، آزمایشات نشان می دهند که اگر دو خط رسم شده به اندازه 2 تا 2.5 برابر این متوسط یعنی (2 or 2.5)*e از محل اثر نیروها فاصله داشته باشد ، خواص مکانیکی در تمام نقاط یکسان خواهد شد. شکل مقطع این منشور را هر شکلی     می توان انتخاب کرد ، ولی بهتر است شکلی انتخاب شود که حداقل دو محور تقارن داشته باشد ، زیرا در اینصورت راحت تر می توان نیروی محوری را بر میان تار منشور منطبق کرد ، در اینصورت طبق مطالب فصل قبلی تنش در تمام مقاطع منشور به طور یکنواخت توزیع خواهد شد.  

شکل 1-4

 

برای آزمایش فشاری نمی توان نمونه را منشوری

انتخاب کرد،زیرا در آزمایش کشش نیروی محوری

همواره جابجا شده ، بر میان تار منشور منطبق می گردد.

 
 

در صورتیکه در آزمایش فشاری به علت وجود ناخالصیها یا احیاناً حبابهای داخل آن نیروی محوری فشاری از میان تار خارج شده در مقاطع منشور علاوه بر نیروی محوری ، گشتاور خمشی نیز ایجاد می شود و باعث خم شدن و کمانش منشور می گردد. لذا در آزمایش فشاری نمونه را مطابق شکل 2-4 به شکل مکعب تهیه می کنند. مثلاً برای آزمایش فشاری روی انواع مختلف فلزات ابعاد آنرا 3 cm ، برای ملات و آجرهای مختلف 5 cm برای سنگهای مختلف 5 , 7.5 , 10 cm ، برای انواع بتن 15 , 20 cm انتخاب می شود. استثنائاً برای بتن مطابق شکل 3-4 استوانه نیز انتخاب می شود.

شکل 2-4

شکل 3-4

 

 

 

 

3-4) آزمایش کشش :

 
 

تمام آزمایشات نشان می دهند اگر هر نوع منشوری از هر نوع ماده ای تحت تاثیر نیروی کششی قرار گیرد ، ازدیاد طول پیدا می کند. این تغییر طول با طول نمونه نسبت مستقیم و با مساحت مقطع نسبت معکوس دارد. یعنی اگر از یک نوع ماده مثلاً سه نمونه منشوری با مساحت مقطع مساوی ولی با طولهای متفاوت تحت تاثیر نیروی کششی قرار گیرد ، مطابق شکل 4-4 برای هر یک از آنها یک منحنی بدست می آید که تغییرات نیرو را بر حسب ازدیاد طول تعیین می کند که طول هر یک از آنها بزرگتر باشد ، تغییر طول آن نیز بزرگتر است و اگر مطابق شکل 5-4 از همان ماده سه نوع منشور با طولهای مساوی ولی با مساحت مقطع متفاوت تحت آزمایش کشش قرار گیرد ازدیاد طول منشوری بزرگتر خواهد شد که مساحت مقطع آن کوچکتر است.

 

L1 = L2 = L3

S1 > S2 > S3

S1 = S2 = S

 L1 < L2 < L3

شکل 4-4

شکل 5-4

 

 

 

 

 

 

 

 

4-4 ) منحنی تنش و تغییر طول نسبی :

آزمایشی که در مطلب قبلی توضیح داده شد ، هیچگونه خواص مکانیکی ماده را مشخص نمی سازد. زیرا شکل هندسی منشور در این نتایج تاثیر می کند. آزمایش را بایستی طوری انجام داد که شکل هندسی بی تاثیر بوده و به جای چندین نمودار برای هر ماده فقط یک منحنی

L      DL

1       x

بدست آورد تا خواص مکانیکی آن ماده تعریف گردد. برای حذف کردن اثر طول نمونه ، تغییر

x=DL/L

طول واحد طول را در نظر می گیریم که با تناسب ساده مقابل بدست می آید :   

 

x = F/S

F        S

x        1

این کمیت بون دیمانسیون را تغییر طول نسبی نامیده با نماد e (e = DL/L) نشان داده ، مطابق شکل 6-4 روی محور افق به جای تغییر طول ، همین تغییر طول نسبی جدا می کنیم. برای از بین بردن اثر مساحت مقطع نیز نیروی وارد بر واحد آن مساحت را در نظر می گیریم که با تناسب مستقیم مقابل بدست می آید :

این کمیت همان مقدار تنش اصلی است که در فصل

 قبل معرفی شده با نماد s (s = F/S) نشان داده و روی محور قائم

 به جای نیرو مقدار تنش را جدا می کنیم. مطابق شکل برای هر

شکل 6-4

 ماده فقط یک منحنی بدست می آید. منحنی واقع در ربع اول

، نتیجه آزمایش کششی و شاخه واقع در ربع سوم ، نتیجه آزمایش

 فشاری است. 

5-4) نادرستی منحنی تنش و تغییر طول نسبی :

بنا به دلایل زیادی ، منحنی تنش و تغییر طول نسبس که در مطالب قبلی مطرح شد ، یک منحنی نادرست است. مثلاً در محاسبة تغییر طول نسبی در هر مرحله که نیرو بیشتر       می شود ، تغییر طول نمونه به طول اولیه تقسیم می گردد. در صورتیکه خود نمونه تغییر طول داده و بایستی تغییر طول به طول فعلی نمونه تقسیم شود و یا مثلاً در محاسبه تنش در هر مرحله بارگذاری نیرو به مساحت مقطع اولیه تقسیم می گردد. در صورتیکه در طول بارگذاری مساحت مقطع تغییر یافته و نیرو بایستی به مساحت مقطع فعلی تقسیم گردد. لذا این منحنی نادرست بوده ولی استاندارد است. یعنی با استفاده از منحنی های مواد مختلف خواص مکانیکی آنها را می توان با هم مقایسه کرد. اختلاف خواص مکانیکی آنها نتیجه کاملاً دقیقی خواهد بود. البته می توان منحنی های کاملاً درست را رسم کرد که مستلزم دقت بیشتر ، هزینه بیشتر و زمان بیشتری می باشد یعنی احتیاج به آزمایشات تحقیقاتی است. در شکل 7-4 منحنی تنش و تغییر طول نسبی دو ماده مختلف مثلاً AL و St رسم شده اندکه هر دو نادرست بوده ولی خطاها در هر دو تا یکی است. منحنیهای واقع در ربع اول نشان می دهند که در اثر نیروی کششی F0 ، AL کمتر از فولاد تغییر شکل داده است. یعنی AL تحت نیروی کششی سخت تر از فولاد است. در صورتیکه تحت تاثیر نیروی فشاری F0¢ ، فولاد کمتر از AL تغییر شکل داده است. یعنی بر عکس کشش ، فولاد در ناحیه فشاری سخت تر از AL است. اختلاف سختی و نرمی آنها بطور دقیق مشخص می گردد. زیرا در پیدا کردن تفاضل آنها چون خطاها یکسان هستند ، بنابراین حذف    می شوند.

6-4) منحنی تنش و تغییر طول نسبی فولاد :

 

شکل 8-4

اگر واحد تنش kg.f/cm2 انتخاب شود. منحنی تنش و تغییر طول نسبی فولاد مطابق شکل 8-4 خواهد شد. منحنیهای واقع در ربع اول و سوم دقیقاً قرینه همدیگر بوده ، خواص مکانیکی فولاد در مقابل کشش و فشار یکی است. هر یک از  منحنی ها از دو خط مستقیم و دو منحنی تشکیل یافته است و این منحنیها در نقاط F و F¢ خاتمه یافته است. در آن نقاط ، فولاد در اثر پارگی یا شکستگی یا بریدگی دو تکه شده است.

 

 

 

 

 

7-4) ضریب یونگ :

در شکل 8-4 منحنی تنش و تغییر طول نسبی فولاد رسم گردیده است که از دو تکه تشکیل یافته است که در ربع اول و سوم قرار دارند که قرینه همدیگر نسبت به مبدا می باشند. پاره خط AA¢ خط مستقیمی است که از مبدا می گذرد. اگر ضریب زاویه آن E باشد ، معادله آن E.e خواهد شد. ضریب زاویه این خط تانژانت زاویه بین این خط و محور افق می باشد. شخصی به نام یونگ با آزمایشات تحقیقاتی زیادی این زاویه را اندازه گرفته و ثابت کرده است که برابر        j = 89.999°  است. در نتیجه برای انواع مختلف فولادها ضریب زاویه مساوی با                      E = (2 or 2.5)*106. از آنجا که تغییر طول نسبی بدون دیمانسیون می باشد ، این ضریب زاویه واحد تنش را خواهد داشت. تمامی آیین نامه ها آن را برابر E = 2*106 kg/cm2 انتخاب کرده و آن را ضریب یونگ یا اساس یونگ یا مدول یانگ می نامند.

8-4) حد تناسب :

بنا به مطالب قبلی معادله خط مستقیم AA¢ به صورت s = E.e نوشته می شود که آنرا قانون هوک نیز می نامند. این معدله از دو نقطة A و A¢ به بعد صادق نیست و فقط در فاصلة آن دو نقطه معادله صادق است. یعنی فقط در آن فاصله تنش و تغییر طول نسبی با هم متناسب اند. لذا تنش های آن دو نقطه را حد تناسب گویند. تنش نقطة A را حد تناسب کششی و تنش نقطه A¢ را حد تناسب فشاری می نامند.

9-4) فرمول هوک :

 

بنا به مطالب قبلی قانون هوک به صورت s = E.e نوشته می شود که اگر به جای تنش و تغییر طول نسبی مقادیرشان را قرار دهیم ، عبارت زیر به دست می آید که آن را فرمول هوک  می نامند.

در پیدا کردن این فرمول هوک از نتیجه بند 5-3 استفاده گردید که تنش مساوی بود با مقدار نیروی محوری تقسیم بر مساحت مقطع و همان طوری که در آنجا گفته شده از آن فرمول تنش و در نتیجه از این فرمول وقتی می توان استفاده کرد که 9 شرط زیر برقرار باشد :

  1. جسم بایستی منشوری باشد.
  2. منشور بایستی مستقیم باشد.
  3. شکل مقطع منشور در طول منشور بایستی شکلی ثابت باشد.
  4. جسم بایستی همگن باشد. ( جسمی را همگن یا متجانس نامند که خواص مکانیکی آن در تمامی نقاط یکسان باشد.)
  5. جسم بایستی ایزوتروپ باشد. (جسمی را ایزوتروپ گویند که خواص مکانیکی آن در تمامی جهات یکسان باشد. مانند فولاد ، مس ، آلومینیوم ، شیشه و نظایز آن. مثلاً چوب ایزوتروپ نیست ، زیرا از الیافی تشکیل یافته است که خواص مکانیکی در امتداد الیاف با امتداد عمود بر الیاف متفاوت است. این نوع مواد را که خواص مکانیکی در امتدادهای عمود بر هم متفاوت باشند ، اوروتروپ گویند.)
  6. نیروهای وارده بر منشور، بایستی نیروهای محوری باشند یعنی موازی میان تار قرار گیرند.
  7. نیروهای محوری یا مجموع آنها بایستی بر میان تار منشور منطبق باشند.
  8. مقدار نیرو در طول منشور بایستی مقدار ثابتی باشد.
  9. تنش در هیچ نقطه از حد تناسب تجاوز نکند

چهار شرط آخر را شرایط فیزیکی گویند. تمامی این شرایط نه گانه را شرایط هوک گویند.

مثال : منشور مستقیمی مطابق شکل از فولاد ساخته شده و بارگذاری گردیده است. تغییر طول آنرا پیدا کنید. ( S1= 4 cm2 , S2 = 8 cm2 , S3,4 = 10 cm2 )

 
 

  

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 

مثال : عکس العمل های تکیه گاههای ثابت منشور فولادی داده شده را بیابید. ( S1= 5cm2 , S2 = 8 cm2 )

 

 

 

 

 

 

 

و

 
 

در محل تکیه گاهها نه نیروی افقی داریم و نه گشتاور بلکه فقط نیروی عمودی داریم.

 

 

 
 
 

 

 

 

 

 

10-4) روش نرمی :

به کمک روشهای مختلف می توان سازه های هیپراستاتیک ( مانند مثال بالا ) را حل کرد. سازه ای را هیپراستاتیک یا نامعین استاتیکی گویند که اولاً پایدار بوده و ثانیاً تعداد عکس العملها از تعداد معادلات تعادل بیشتر باشد. مثلاً اگر تعداد معادلات n و تعداد عکس العملها m باشد و   < m n  باشد. تفضل آن دو تا یعنی m-n را درجه نامعینی آن سازه گوةیند. با استفاد از تغییر شکلها می توان به همین تعداد معادله به دست آورد. آنها را معادلات سازگاری گویند. یکی از روشها روش نرمی است. در این روش به تعداد درجه نامعینی ( یعنی m-n ) تکیه گاهها را حذف می کنیم. به شرط اینکه سازه پایدار باقی بماند ، سازه تبدیل به سازه ایزواستاتیک یعنی سازه معین خواهد شد. تغییر شکلهای قطعات آن سازه را می توان حساب کرد. با این محاسبات تعیین می گردد محل هر یک از تکیه گاههای حذف شده چقدر تغییر مکان یافته است. با صفر قرار دادن ایت تغییر مکانها به تعداد تکیه گاههای حذف شده یعنی ( m-n ) معادله سازگاری به دست     می آید. همراه با معادلات تعادل آن سازه هیپراستاتیک حل می گردد. فقط لازم به توضیح است که بعد از حذف آن تکیه گاههای اضافی بایستی عکس العمل های آنها را به عنوان نیروهای معلوم در نظر گرفت تا تمامی عکس العمل و توزیع تنش در مقاطع اعضا با سازه اصلی یکسان باشد. چون با حذف یک عده از تکیه گاهها سازه می تواند به راحتی تغییر شکل دهد یعنی سازه قابل انعطاف تر و نرم تر می شود ، این روش را روش نرمی گویند.     




:: برچسب‌ها: مقاومت مصالح 1
ن : ع غ
ت : ۱۳٩٠/٦/٢٧
نظرات ()
 
جهت اطلاع از تنظیمات و ویــــرایش این قالب اینجا را کلیک کنید.

.:: کلیک کنید ::.